Solusi untuk Persamaan Trigonometri dengan Bentuk acosx + bsinx = c

   Baiklah, kali ini saya akan membagikan solusi untuk persamaan trigonometri yang memiliki bentuk acosx + bsinx = c, dengan a,b,c suatu konstanta. Persamaan trigonometri sendiri merupakan suatu persamaan yang didalamnya terdapat fungsi fungsi trigonometri, seperti fungsi sinus, cosinus, dan lain sebagainya. Ada beberapa metode untuk menyelesaikan persamaan trigonometri dengan bentuk acosx + bsinx = c, beberapa diantaranya: 

1. Mengubah bentuk acosx + bsinx = c ,menjadi bentuk kcos(x-α ) = c

      Dengan metode ini, kita akan mengubah bentuk penjumlahan dua fungsi trigonometri, menjadi satu fungsi, dalam hal ini fungsi sinus dan kosinus menjadi fungsi sinus. Langkah menyelesaikannya yaitu:

Gunakan segitiga bantuan berupa segitiga siku siku seperti pada gambar berikut:

Diperoleh persamaan:

Substitusikan ke persamaan
acosx + bsinx = c, menjadi:

,Dengan menggunakan identitas trigonometri

 diperoleh:

untuk memperoleh nilai α, kita bagi persamaan (2) dengan persamaan (1) :

Sementara untuk memperoleh nilai k, jumlahkan kuadrat dari persamaan (1) dan (2)

 Dengan mengingat identitas trigonometri

Diperoleh:

Setelah mengetahui nilai k dan α, kita bisa melakukan substitusi ke persamaan 3 dan menyelesaikan persamaan trigonometri tersebut.

Kali ini, kita akan mencoba menemukan solusi dari persamaan 5 cosx + 4sinx = 6 untuk interval 0 < x < π/2
Pertama tama, kita tentukan nilai k

Selanjutnya, kita tentukan sudut α

 α = 38,4^o

Selanjutnya dengan menggunakan persamaan 3

Selanjutnya kita peroleh:

X_{1  =} 20,44^o + 38,4^o + k.360^o

X₂  = 20,44^o + 38,4^o + k.360^o

untuk interval 0 < x < π/2, maka k=0, sehingga

X_{1  =} 58,84^o

X_{2  =} 17,96^o 

     2.  Mengubah menjadi bentuk kuadrat

    Untuk metode kedua ini, kita akan mengkuadratkan persamaan berbentuk acosx + bsinx = c, lalu memanfaatkan persamaan: 

Sehingga kita akan mendapatkan persamaan kuadrat.

Dengan contoh yang sama seperti sebelumnya, yaitu persamaan 5 cosx + 4sinx = 6 untuk interval 0 < x < π/2

Kita kuadratkan persamaan tersebut sehingga diperoleh

 Karena cos²x = 1 – sin²x, diperoleh

Gunakan rumus abc

Diperoleh            sin x   atau sinx

Maka untuk interval 0 < x < π/2, nilai x yang memenuhi adalah

X₁ = 58,84^o

X_{2  =} 17,96^o

Hasilnya sama dengan ketika menggunakan metode 1

Demikian langkah untuk menemukan solusi persamaan trigonometri dengan bentuk acosx + bsinx = c. Terima kasih atas perhatiannya, kalau ada saran atau barangkali ada kesalahan dalam penyelesaian diatas, silakan beritahu lewat email atau komentar, karena saya pun masih proses belajar :)